开关电源的小信号模型及环路设计

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摘要：建立了Buck电路在连续电流模式下的小信号数学模型，并根据稳定性原则分析了电压模式和电流模式控制下的环路设计问题。

    关键词：开关电源；小信号模型；电压模式控制；电流模式控制

引言

设计一个具有良好动态和静态性能的开关电源时，控制环路的设计是很重要的一个部分。而环路的设计与主电路的拓扑和参数有极大关系。为了进行稳定性分析，有必要建立开关电源完整的小信号数学模型。在频域模型下，波特图提供了一种简单方便的工程分析方法，可用来进行环路增益的计算和稳定性分析。由于开关电源本质上是一个非线性的控制对象，因此，用解析的办法建模只能近似建立其在稳态时的小信号扰动模型，而用该模型来解释大范围的扰动（例如启动过程和负载剧烈变化过程）并不完全准确。好在开关电源一般工作在稳态，实践表明，依据小信号扰动模型设计出的控制电路，配合软启动电路、限流电路、钳位电路和其他辅助部分后，完全能使开关电源的性能满足要求。开关电源一般采用Buck电路，工作在定频PWM控制方式，本文以此为基础进行分析。采用其他拓扑的开关电源分析方法类似。
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1 Buck电路电感电流连续时的小信号模型

图1为典型的Buck电路，为了简化分析，假定功率开关管S和D1为理想开关，滤波电感L为理想电感（电阻为0），电路工作在连续电流模式（CCM）下。Re为滤波电容C的等效串联电阻，Ro为负载电阻。各状态变量的正方向定义如图1中所示。

S导通时，对电感列状态方程有

L(dil/dt)=Uin－Uo    （1）

S断开，D1续流导通时，状态方程变为

L(dil/dt)=－Uo    （2）
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    占空比为D时，一个开关周期过程中，式（1）及式（2）分别持续了DTs和（1－D）Ts的时间（Ts为开关周期），因此，一个周期内电感的平均状态方程为

L(dil/dt)=D(Uin－Uo)＋(1－D)(－Uo)=DUin－Uo   （3）

稳态时，=0，则DUin=Uo。这说明稳态时输出电压是一个常数，其大小与占空比D和输入电压Uin成正比。

由于电路各状态变量总是围绕稳态值波动，因此，由式（3）得

L[d(il+il')/dt]=(D＋d)(Uin＋Uin')－(Uo＋Uo')    （4）
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    式（4）由式（3）的稳态值加小信号波动值形成。上标为波浪符的量为波动量，d为D的波动量。式（4）减式（3）并略去了两个波动量的乘积项得

L(dil'/dt)=DUin'＋dUin－Uo'    （5）

由图1，又有

iL=C(duc/dt)＋Uo/R0    （6）

Uo=Uc＋ReC(duc/dt)    （7）

式（6）及式（7）不论电路工作在哪种状态均成立。由式（6）及式（7）可得

iL＋ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(duo/dt))    （8）

式（8）的推导中假设Re<<Ro。由于稳态时dil/dt=0，dUo/dt=0，由式（8）得稳态方程为iL=Uo/Ro。这说明稳态时电感电流平均值全部流过负载。对式（8）中各变量附加小信号波动量得

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式（9）减式（8）得

iL+ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(dUo/dt))    （10）

将式（10）进行拉氏变换得

iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1+sCRo)/(1+sCRe)]    (11)

(s)=（11）一般认为在开关频率的频带范围内输入电压是恒定的，即可假设=0并将其代入式（5），将式（5）进行拉氏变换得

sLiL'(s)=d(s)Uin－Uo'(s)    （12）

由式（11），式（12）得

Uo'(s)/d(s)=Uin[(1+sCRe)/(s2LC+s(ReC+L/Ro)+1]    （13）

iL'(s)/d(s)=[(1+sCRo)/s2LC+s(ReC+L/Ro)+1]·Uin/Ro    （14）

式(13)，式(14)便为Buck电路在电感电流连续时的控制－输出小信号传递函数。
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2 电压模式控制（VMC）

电压模式控制方法仅采用单电压环进行校正，比较简单，容易实现，可以满足大多数情况下的性能要求，如图2所示。

图2中，当电压误差放大器（E/A）增益较低、带宽很窄时，Vc波形近似直流电平，并有

D=Vc/Vs    （15）

d=Vc'/Vs    （16）

式（16）为式（15）的小信号波动方程。整个电路的环路结构如图3所示。图3没有考虑输入电压的变化，即假设Uin=0。图3中，（一般为0）及分别为电压给定与电压输出的小信号波动；KFB=UREF/Uo，为反馈系数；误差e为输出采样值偏离稳态点的波动值，经电压误差放大器KEA放大后，得；KMOD为脉冲宽度调制器增益，KMOD=d/=1/Vs；KPWR为主电路增益，KPWR=/d=Uin；KLC为输出滤波器传递函数，KLC=(1+sCRe)/[S2LC+s(ReC+L/Ro)+1]。
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    在已知环路其他部分的传递函数表达式后，即可设计电压误差放大器了。由于KLC提供了一个零点和两个谐振极点，因此，一般将E/A设计成PI调节器即可，KEA=KP(1＋ωz/s)。其中ωz用于消除稳态误差，一般取为KLC零极点的1/10以下；KP用于使剪切频率处的开环增益以－20dB/十倍频穿越0dB线，相角裕量略小于90°。

VMC方法有以下缺点：

1）没有可预测输入电压影响的电压前馈机制，对瞬变的输入电压响应较慢，需要很高的环路增益；

2）对由L和C产生的二阶极点（产生180°的相移）没有构成补偿，动态响应较慢。

VMC的缺点可用下面将要介绍的CMC方法克服。
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3 平均电流模式控制（AverageCMC）

平均电流模式控制含有电压外环和电流内环两个环路，如图4所示。电压环提供电感电流的给定，电流环采用误差放大器对送入的电感电流给定（Vcv）和反馈信号（iLRs）之差进行比较、放大，得到的误差放大器输出Vc再和三角波Vs进行比较，最后即得控制占空比的开关信号。图4中Rs为采样电阻。对于一个设计良好的电流误差放大器，Vc不会是一个直流量，当开关导通时，电感电流上升，会导致Vc下降；开关关断，电感电流下降时，会导致Vc上升。电流环的设计原则是，不能使Vc上升斜率超过三角波的上升斜率，两者斜率相等时就是最优。原因是：如果Vc上升斜率超过三角波的上升斜率，会导致Vc峰值超过Vs的峰值，在下个周波时Vc和Vs就可能不会相交，造成次谐波振荡。

采用斜坡匹配的方法进行最优设计后，PWM控制器的增益会随占空比D的变化而变，如图5所示。

当D很大时，较小的Vc会引起D较大的改变，而D较小时，即使Vc变化很大，D的改变也不大，即增益下降。所以有

d=DV'/Vs    （17）

不妨设电压环带宽远低于电流环，则在分析电流环时Vcv为常数。当Vc的上升斜率等于三角波斜率时，在开关频率fs处,电流误差放大器的增益GCA为

GCA[d(iLRs)/dt]=GCA(Vo/L)Rs=Vsfs    （18）

GCA=Vc'/(iL'Rs)=VsfsL/(UoRs)    （19）

高频下，将式（14）分子中的“1”和分母中的低阶项忽略，并化简，得

iL'(s)=[d(s)Uin]/sL    （20）

由式（17）及式（20）有

(iL'Rs)/Vc'=[Rsd(s)Uin/(sL)]/[d(s)Vs/D]=(RsUinD)/(sLVs)    （21）

将式（19）与式（21）相乘，得整个电流环的开环传递函数为

(RsUinD/sLVs)·(VsfsL)/(UoRs)=fs/s    （22）

图7

   

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